Упр.34.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 8(cos 7пи/12 + i sin 7пи/12) / 4(cos (-пи/4) + i sin (-пи/4)); б) (10 + 10i)(корень2(cos 3пи/4 + i sin 3пи/4)); в) 12(cos (5пи/6) + i sin (5пи/6)) / 0,3(cos пи/3 + i sin пи/3); г) 16(cos (-пи/6) + i sin (-пи/6)) / (4 — 4корень3 i).

1. $$ \frac{8\left(\cos \frac{7\pi}{12}+i\sin \frac{7\pi}{12}\right)}{4\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)} =\frac{8}{4}\left(\cos \left(\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)\right) $$

   $$ =2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right) =2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right) =-\sqrt{3}+i $$

2. $$ \frac{10+10i}{\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)} $$

   Представим делимое в тригонометрической форме:

   $$ 10+10i=10\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) $$

   Тогда

   $$ \frac{10\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)} =10\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)\right) $$

   $$ =10\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =-10i $$

3. $$ \frac{12\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right)}{0{,}3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)} =\frac{12}{0{,}3}\left(\cos \left(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)\right) $$

   $$ =40\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=40i $$

4. $$ \frac{16\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)}{4-4\sqrt{3}\,i} $$

   Представим делитель в тригонометрической форме:

   $$ 4-4\sqrt{3}\,i=8\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) $$

   Тогда

   $$ \frac{16\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)}{8\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)} =2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right) $$

   $$ =2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right) =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right) =\sqrt{3}+i $$

Ответ

а) $$-\sqrt{3}+i$$; б) $$-10i$$; в) $$40i$$; г) $$\sqrt{3}+i$$.