Упр.34.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для комплексных чисел z1 = 12 — 5i и z2 = 3 + 4i: a) найдите |z1| и |z2|; б) вычислите Z/Z2 и проверьте равенство \zxz2\ = |z1| * |z2 |в) вычислите 1/z1 и проверьте равенство |1/z1| = 1/|z1 |г) вычислите z1/z2 и проверьте равенство |z1/z2| = |z1|/|z2|
Даны комплексные числа $$z_1=12-5i$$ и $$z_2=3+4i$$.
Найдём модули:
$$|z_1|=\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13,$$
$$|z_2|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$
Вычислим произведение:
$$z_1z_2=(12-5i)(3+4i)=36+48i-15i-20i^2=56+33i.$$
Проверим равенство для модулей:
$$|z_1z_2|=\sqrt{56^2+33^2}=\sqrt{3136+1089}=\sqrt{4225}=65,$$
$$|z_1|\cdot|z_2|=13\cdot 5=65.$$
Найдём обратное число к $$z_1$$:
$$\frac{1}{z_1}=\frac{1}{12-5i}=\frac{12+5i}{(12-5i)(12+5i)}=\frac{12+5i}{144+25}=\frac{12+5i}{169}.$$
Проверим модуль:
$$\left|\frac{1}{z_1}\right|=\sqrt{\left(\frac{12}{169}\right)^2+\left(\frac{5}{169}\right)^2}=\frac{\sqrt{144+25}}{169}=\frac{13}{169}=\frac{1}{13}.$$
Так как $$\frac{1}{|z_1|}=\frac{1}{13},$$ равенство верно.
Вычислим частное:
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{12-5i}{3+4i}=\frac{(12-5i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{36-48i-15i+20i^2}{9+16}=\frac{16-63i}{25}.$$
Проверим модуль:
$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\left(\frac{16}{25}\right)^2+\left(\frac{63}{25}\right)^2}=\frac{\sqrt{256+3969}}{25}=\frac{\sqrt{4225}}{25}=\frac{65}{25}=\frac{13}{5}.$$
А также
$$\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{13}{5}.$$
Ответ
$$|z_1|=13,\quad |z_2|=5,$$
$$z_1z_2=56+33i,\quad |z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|=65,$$
$$\frac{1}{z_1}=\frac{12+5i}{169},\quad \left|\frac{1}{z_1}\right|=\frac{1}{13},$$
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{16-63i}{25},\quad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{13}{5}.$$
