Упр.34.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Выполните действия, используя правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме: a) 6(cos 2пи/3 + i sin 2пи/3) * 1/3(cos (-пи/6) + i sin (-пи/6)); б) (-5 — 5i)(cos пи/4 + i sin пи/4); в) 0,3(cos (-пи/12) + i sin (-пи/12)) * 20(cos пи/4 + i sin пи/4); г) корень3 (cos пи/6 + i sin пи/6) * (2 + 2корень3 i).

1. Используем правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

   $$r_1(\cos \varphi_1+i\sin \varphi_1)\cdot r_2(\cos \varphi_2+i\sin \varphi_2)=r_1r_2\bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\bigr).$$

   а)

   $$ 6\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)\cdot \frac13\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) $$

   $$ =6\cdot \frac13\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\right) =2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=2i. $$

2. б)

   Представим число $$-5-5i$$ в тригонометрической форме:

   $$ |-5-5i|=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2}=5\sqrt2, $$

   $$ -5-5i=5\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right). $$

   Тогда

   $$ (-5-5i)\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) $$

   $$ =5\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\right) =5\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right). $$

   $$ =5\sqrt2(0-i)=-5\sqrt2\,i. $$

3. в)

   $$ 0{,}3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)\cdot 20\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) $$

   $$ =0{,}3\cdot 20\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)\right) =6\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right). $$

   $$ =6\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=3(\sqrt3+i). $$

4. г)

   Представим число $$2+2\sqrt3\,i$$ в тригонометрической форме:

   $$ |2+2\sqrt3\,i|=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4, $$

   $$ 2+2\sqrt3\,i=4\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right). $$

   Тогда

   $$ \sqrt3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)\cdot (2+2\sqrt3\,i) $$

   $$ =\sqrt3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)\cdot 4\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right) $$

   $$ =4\sqrt3\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right) =4\sqrt3\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=4i\sqrt3. $$

Ответ

а) $$2i$$; б) $$-5\sqrt2\,i$$; в) $$3(\sqrt3+i)$$; г) $$4i\sqrt3$$.