Упр.34.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Представьте в алгебраической форме комплексное число: a) 5(cos 5пи/6 + i sin 5пи/6); б) 1/(cos (-пи/3) + i sin (-пи/3)); в) 5(cos 2пи/3 + i sin 2пи/3); г) 1/(cos (-3пи/4) + i sin (-3пи/4)).

Используем формулы:

$$\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$$

$$\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, \quad \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

1. $$z=5\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right)=5\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\frac{5}{2}(-\sqrt{3}+i).$$

2. $$z=\frac{1}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\frac{2}{1-i\sqrt{3}}.$$

   Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое число:

   $$z=\frac{2(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})}=\frac{2(1+i\sqrt{3})}{1+3}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}.$$

3. $$z=5\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)=5\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{5}{2}(-1+i\sqrt{3}).$$

4. $$z=\frac{1}{\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}=\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}.$$

   Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое число:

   $$z=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)}{(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)}=\frac{2\sqrt{2}(1+i)}{2+2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$$

Ответ

а) $$\frac{5}{2}(-\sqrt{3}+i)$$; б) $$\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$$; в) $$\frac{5}{2}(-1+i\sqrt{3})$$; г) $$\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$$.