Упр.34.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 1 — cos 100° + i sin 100°; б) sin 4пи/7 + i(1 — cos 4пи/7); в) sin 6пи/11 + i(1 — cos 6пи/11); г) 1 — cos 250° + i sin 610°.

Преобразуем каждое число, используя формулы:

$$1-\cos 2\alpha=2\sin^2\alpha,$$

$$1-\cos 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \tan\alpha \text{ не используем, а приводим к виду } r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

1. $$z=1-\cos100^\circ+i\sin100^\circ.$$

   Так как $$1-\cos100^\circ=2\sin^2 50^\circ,$$ а $$\sin100^\circ=2\sin50^\circ\cos50^\circ,$$ то

   $$ z=2\sin^2 50^\circ+i\cdot 2\sin50^\circ\cos50^\circ =2\sin50^\circ(\sin50^\circ+i\cos50^\circ). $$

   Поскольку $$\sin50^\circ=\cos40^\circ,$$ а $$\cos50^\circ=\sin40^\circ,$$ получаем

   $$z=2\sin50^\circ(\cos40^\circ+i\sin40^\circ).$$

2. $$z=\sin\frac{4\pi}{7}+i\left(1-\cos\frac{4\pi}{7}\right).$$

   Положим $$\alpha=\frac{2\pi}{7}.$$ Тогда

   $$\sin\frac{4\pi}{7}=2\sin\alpha\cos\alpha,$$

   $$1-\cos\frac{4\pi}{7}=2\sin^2\alpha.$$

   Следовательно,

   $$ z=2\sin\alpha\cos\alpha+i\cdot 2\sin^2\alpha =2\sin\alpha(\cos\alpha+i\sin\alpha). $$

   То есть

   $$z=2\sin\frac{2\pi}{7}\left(\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\right).$$

3. $$z=\sin\frac{6\pi}{11}+i\left(1-\cos\frac{6\pi}{11}\right).$$

   Положим $$\alpha=\frac{3\pi}{11}.$$ Тогда

   $$\sin\frac{6\pi}{11}=2\sin\alpha\cos\alpha,$$

   $$1-\cos\frac{6\pi}{11}=2\sin^2\alpha.$$

   Получаем

   $$ z=2\sin\alpha\cos\alpha+i\cdot 2\sin^2\alpha =2\sin\alpha(\cos\alpha+i\sin\alpha). $$

   Значит,

   $$z=2\sin\frac{3\pi}{11}\left(\cos\frac{3\pi}{11}+i\sin\frac{3\pi}{11}\right).$$

4. $$z=1-\cos250^\circ+i\sin610^\circ.$$

   Сначала упростим тригонометрические функции:

   $$\cos250^\circ=\cos(180^\circ+70^\circ)=-\cos70^\circ,$$

   $$\sin610^\circ=\sin(540^\circ+70^\circ)=-\sin70^\circ.$$

   Тогда

   $$z=1+\cos70^\circ-i\sin70^\circ.$$

   Так как $$1+\cos70^\circ=1-\cos110^\circ=2\sin^2 55^\circ,$$ а $$\sin70^\circ=2\sin35^\circ\cos35^\circ,$$ то удобнее записать

   $$ z=2\cos^2 35^\circ-2i\sin35^\circ\cos35^\circ =2\cos35^\circ(\cos35^\circ-i\sin35^\circ). $$

   Поскольку $$\cos35^\circ=\sin55^\circ,$$ можно также представить ответ в виде

   $$z=2\sin125^\circ\left(\cos(-35^\circ)+i\sin(-35^\circ)\right).$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } z=2\sin50^\circ(\cos40^\circ+i\sin40^\circ);\\ &\text{б) } z=2\sin\frac{2\pi}{7}\left(\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\right);\\ &\text{в) } z=2\sin\frac{3\pi}{11}\left(\cos\frac{3\pi}{11}+i\sin\frac{3\pi}{11}\right);\\ &\text{г) } z=2\cos35^\circ(\cos35^\circ-i\sin35^\circ). \end{aligned} $$