Упр.34.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 35° — i cos 35°; б) sin (-23°) + i cos (-23°); в) -sin 40° + i cos 40°; г) sin (-20°) — i sin (-70°).

Используем тождества $$\sin \alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$$ и $$\cos \alpha=\sin(90^\circ-\alpha),$$ а также формулу $$\cos \beta+i\sin \beta$$ для записи комплексного числа в тригонометрической форме.

1. $$z=\sin 35^\circ-i\cos 35^\circ$$

   $$\sin 35^\circ=\cos 55^\circ,\qquad \cos 35^\circ=\sin 55^\circ,$$

   значит

   $$z=\cos 55^\circ-i\sin 55^\circ=\cos(-55^\circ)+i\sin(-55^\circ).$$

2. $$z=\sin(-23^\circ)+i\cos(-23^\circ)$$

   $$\sin(-23^\circ)=-\sin 23^\circ,\qquad \cos(-23^\circ)=\cos 23^\circ,$$

   поэтому

   $$z=-\sin 23^\circ+i\cos 23^\circ=\cos 113^\circ+i\sin 113^\circ.$$

3. $$z=-\sin 40^\circ+i\cos 40^\circ$$

   $$-\sin 40^\circ=\cos 130^\circ,\qquad \cos 40^\circ=\sin 130^\circ,$$

   следовательно,

   $$z=\cos 130^\circ+i\sin 130^\circ.$$

4. $$z=\sin(-20^\circ)-i\sin(-70^\circ)$$

   $$\sin(-20^\circ)=-\sin 20^\circ,\qquad \sin(-70^\circ)=-\sin 70^\circ,$$

   тогда

   $$z=-\sin 20^\circ+i\sin 70^\circ.$$

   Так как $$\sin 70^\circ=\cos 20^\circ,$$ то

   $$z=-\sin 20^\circ+i\cos 20^\circ=\cos 110^\circ+i\sin 110^\circ.$$

Ответ

а) $$\cos(-55^\circ)+i\sin(-55^\circ)$$;
б) $$\cos 113^\circ+i\sin 113^\circ$$;
в) $$\cos 130^\circ+i\sin 130^\circ$$;
г) $$\cos 110^\circ+i\sin 110^\circ$$.