Упр.34.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3 — 4i; б) -5 + 12i; в) 6 + 8i; г) -15 — 8i.
$$z=3-4i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5.$$
Так как
$$\cos \varphi=\frac{3}{5}, \qquad \sin \varphi=-\frac{4}{5},$$
то
$$\varphi=-\arccos \frac{3}{5}.$$
Следовательно,
$$z=5\left(\cos\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)+i\sin\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)\right).$$
$$z=-5+12i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.$$
Так как
$$\cos \varphi=-\frac{5}{13}, \qquad \sin \varphi=\frac{12}{13},$$
то
$$\varphi=\arccos\left(-\frac{5}{13}\right).$$
Следовательно,
$$z=13\left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)+i\sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)\right).$$
$$z=6+8i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$
Так как
$$\cos \varphi=0{,}6, \qquad \sin \varphi=0{,}8,$$
то
$$\varphi=\arccos 0{,}6.$$
Следовательно,
$$z=10\left(\cos(\arccos 0{,}6)+i\sin(\arccos 0{,}6)\right).$$
$$z=-15-8i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(-15)^2+(-8)^2}=\sqrt{225+64}=17.$$
Так как
$$\cos \varphi=-\frac{15}{17}, \qquad \sin \varphi=-\frac{8}{17},$$
то
$$\varphi=-\pi+\arccos \frac{15}{17}.$$
Следовательно,
$$z=17\left(\cos\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)+i\sin\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)\right).$$
Ответ
а) $$z=5\left(\cos\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)+i\sin\left(-\arccos \frac{3}{5}\right)\right);$$
б) $$z=13\left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)+i\sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)\right);$$
в) $$z=10\left(\cos(\arccos 0{,}6)+i\sin(\arccos 0{,}6)\right);$$
г) $$z=17\left(\cos\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)+i\sin\left(\arccos \frac{15}{17}-\pi\right)\right).$$
