Упр.34.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 4 — 4корень3 i; б) 1 + корень3i; в) -2 — 2корень3 i; г) -1/2 + i корень3/2.
Запишем каждое комплексное число в виде $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi).$$ Для этого найдём модуль $$|z|$$ и аргумент $$\varphi$$.
$$z=4-4\sqrt{3}\,i$$
$$|z|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8.$$
Так как
$$\cos \varphi=\frac{4}{8}=\frac12,\qquad \sin \varphi=\frac{-4\sqrt3}{8}=-\frac{\sqrt3}{2},$$
то $$\varphi=-\frac{\pi}{3}.$$
Следовательно,
$$z=8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$
$$z=1+\sqrt{3}\,i$$
$$|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt4=2.$$
Так как
$$\cos \varphi=\frac12,\qquad \sin \varphi=\frac{\sqrt3}{2},$$
то $$\varphi=\frac{\pi}{3}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$
$$z=-2-2\sqrt{3}\,i$$
$$|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4.$$
Так как
$$\cos \varphi=-\frac12,\qquad \sin \varphi=-\frac{\sqrt3}{2},$$
то $$\varphi=-\frac{2\pi}{3}.$$
Следовательно,
$$z=4\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right).$$
$$z=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$
$$|z|=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac34}=1.$$
Так как
$$\cos \varphi=-\frac12,\qquad \sin \varphi=\frac{\sqrt3}{2},$$
то $$\varphi=\frac{2\pi}{3}.$$
Следовательно,
$$z=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$$
Ответ
а) $$8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right);$$
б) $$2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right);$$
в) $$4\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right);$$
г) $$\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$$
