Упр.34.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) корень3 + i; б) -корень3 + i; в) 3корень3 — 3i; г) -2корень3-2 i.
$$z=\sqrt{3}+i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=\frac{1}{2},$$
откуда $$\varphi=\frac{\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$
$$z=-\sqrt{3}+i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.$$
Здесь число лежит во II четверти, поэтому
$$\cos \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=\frac{1}{2},$$
откуда
$$\varphi=\frac{5\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right).$$
$$z=3\sqrt{3}-3i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2},$$
откуда
$$\varphi=-\frac{\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=6\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$
$$z=-2\sqrt{3}-2i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4.$$
Число лежит в III четверти, поэтому
$$\cos \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \varphi=-\frac{1}{2},$$
откуда
$$\varphi=-\frac{5\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$z=4\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$
Ответ
а) $$2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right);$$
б) $$2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right);$$
в) $$6\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right);$$
г) $$4\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$
