Упр.34.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 4 + 4i; б) 1 — i; в) -2 + 2i; г) -2 — 2i.

Запишем каждое комплексное число в виде $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi),$$ где $$r=|z|.$$

1. $$z=4+4i.$$

   $$|z|=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$

   Так как $$\cos \varphi=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ то $$\varphi=\frac{\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$z=4\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right).$$

2. $$z=1-i.$$

   $$|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.$$

   Здесь

   $$\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

   значит, $$\varphi=-\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

3. $$z=-2+2i.$$

   $$|z|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

   Имеем

   $$\cos \varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

   откуда $$\varphi=\frac{3\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right).$$

4. $$z=-2-2i.$$

   $$|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

   Тогда

   $$\cos \varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

   значит, $$\varphi=-\frac{3\pi}{4}.$$

   Итак,

   $$z=2\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

Ответ

а) $$4\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right);$$
б) $$\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right);$$
в) $$2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right);$$
г) $$2\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$