Упр.34.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел 2, у которых: a) пи/2 < arg(z) < 3пи/4 и |z|= 2; б) пи/2 < arg (z) < 3пи/4 и 3 < |z| < 5; в) -3пи/4 < arg(z) < пи/6 и |z| = 8; г) -5пи/6 < arg(z) < 2пи/3 или 1 < |z| < 2.

Изобразим на комплексной плоскости множества точек в полярных координатах: угол задаёт направление лучей, а модуль — расстояние от начала координат.

1. $$\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}, \quad |z|=2.$$

   Это дуга окружности радиуса $$2$$ между лучами с аргументами $$\frac{\pi}{2}$$ и $$\frac{3\pi}{4}$$, без граничных точек.

2. $$\frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{3\pi}{4}, \quad 3 < |z| < 5.$$

   Это часть кольца между окружностями радиусов $$3$$ и $$5$$ в секторе между лучами $$\frac{\pi}{2}$$ и $$\frac{3\pi}{4}$$, границы не входят.

3. $$-\frac{3\pi}{4} < \arg(z) < \frac{\pi}{6}, \quad |z|=8.$$

   Это дуга окружности радиуса $$8$$ между лучами с аргументами $$-\frac{3\pi}{4}$$ и $$\frac{\pi}{6}$$, без концов дуги.

4. $$-\frac{5\pi}{6} < \arg(z) < \frac{2\pi}{3} \quad \text{или} \quad 1 < |z| < 2.$$

   Здесь изображается объединение двух множеств: углового сектора между лучами $$-\frac{5\pi}{6}$$ и $$\frac{2\pi}{3}$$ и кольца между окружностями радиусов $$1$$ и $$2$$. В обоих случаях границы не входят.

Ответ

а) дуга окружности $$|z|=2$$ между аргументами $$\frac{\pi}{2}$$ и $$\frac{3\pi}{4}$$;
б) сектор кольца $$3<|z|<5$$ при $$\frac{\pi}{2}<\arg(z)<\frac{3\pi}{4}$$;
в) дуга окружности $$|z|=8$$ при $$-\frac{3\pi}{4}<\arg(z)<\frac{\pi}{6}$$;
г) объединение сектора $$-\frac{5\pi}{6}<\arg(z)<\frac{2\pi}{3}$$ и кольца $$1<|z|<2$$.