Упр.34.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 — 2i; б) (-корень3 + i)2, в) -3 + 3i; г) (-3 + 3i)2.
а) $$z=2-2i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \sin \varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Следовательно, $$\varphi=-\frac{\pi}{4}.$$
б) $$z=(-\sqrt{3}+i)^2$$
Раскроем скобки:
$$z=3-2i\sqrt{3}+i^2=2-2i\sqrt{3}.$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{2^2+(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad \sin \varphi=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, $$\varphi=-\frac{\pi}{3}.$$
в) $$z=-3+3i$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$
Тогда
$$\cos \varphi=\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \sin \varphi=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Следовательно, $$\varphi=\frac{3\pi}{4}.$$
г) $$z=(-3+3i)^2$$
Вычислим:
$$z=9-18i+9i^2=-18i.$$
Это число лежит на отрицательной мнимой оси, значит
$$\varphi=-\frac{\pi}{2}.$$
Ответ
а) $$-\frac{\pi}{4}$$; б) $$-\frac{\pi}{3}$$; в) $$\frac{3\pi}{4}$$; г) $$-\frac{\pi}{2}$$.
