Упр.34.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) z = cos (13,2пи) + i sin (13,2пи); б) z = cos (-12,3пи) + i sin (-12,Зпи); в) z = cos (17 arccos (-1)) + i sin (17 arccos (-1)); г) z = cos (2 arccos (-0,5)) + i sin (2 arccos (-0,5)).

Во всех пунктах число задано в тригонометрической форме, поэтому достаточно привести аргумент к стандартному виду, то есть взять его в промежутке $$(-\pi;\pi]$$.

1. $$z=\cos(13{,}2\pi)+i\sin(13{,}2\pi).$$

   Вычтем $$14\pi$$:

   $$13{,}2\pi-14\pi=-0{,}8\pi.$$

   Тогда

   $$z=\cos(-0{,}8\pi)+i\sin(-0{,}8\pi).$$

2. $$z=\cos(-12{,}3\pi)+i\sin(-12{,}3\pi).$$

   Прибавим $$12\pi$$:

   $$-12{,}3\pi+12\pi=-0{,}3\pi.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos(-0{,}3\pi)+i\sin(-0{,}3\pi).$$

3. $$z=\cos\bigl(17\arccos(-1)\bigr)+i\sin\bigl(17\arccos(-1)\bigr).$$

   Так как $$\arccos(-1)=\pi$$, то

   $$17\arccos(-1)=17\pi.$$

   Приведём угол к стандартному виду:

   $$17\pi-16\pi=\pi.$$

   Значит,

   $$z=\cos\pi+i\sin\pi.$$

4. $$z=\cos\bigl(2\arccos(-0{,}5)\bigr)+i\sin\bigl(2\arccos(-0{,}5)\bigr).$$

   Так как $$\arccos(-0{,}5)=\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$ то

   $$2\arccos(-0{,}5)=\frac{4\pi}{3}.$$

   Вычтем $$2\pi$$:

   $$\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right).$$

Ответ

а) $$z=\cos(-0{,}8\pi)+i\sin(-0{,}8\pi);$$ б) $$z=\cos(-0{,}3\pi)+i\sin(-0{,}3\pi);$$ в) $$z=\cos\pi+i\sin\pi;$$ г) $$z=\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right).$$