Упр.34.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Число z задано в тригонометрической форме. Укажите стандартную тригонометрическую форму: a) z = cos 11пи/6 + i sin 11пи/6; б) z = cos (-13пи/6) + i sin (-13пи/6); в) z = cos 99пи/4 + i sin 99пи/4; г) z = cos (-103пи/6) + isin (-103пи/6) .

Стандартная тригонометрическая форма числа имеет вид $$z=\cos \varphi+i\sin \varphi,$$ где угол $$\varphi$$ можно заменить на сонаправленный, отличающийся на целое число полных оборотов $$2\pi.$$

1. $$\varphi=\frac{11\pi}{6}$$

   $$\frac{11\pi}{6}-2\pi=\frac{11\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}.$$
   Значит,
   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right).$$

2. $$\varphi=-\frac{13\pi}{6}$$

   $$-\frac{13\pi}{6}+2\pi=-\frac{13\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}.$$
   Значит,
   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right).$$

3. $$\varphi=\frac{99\pi}{4}$$

   $$\frac{99\pi}{4}-24\pi=\frac{99\pi}{4}-\frac{96\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.$$
   Значит,
   $$z=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}.$$

4. $$\varphi=-\frac{103\pi}{6}$$

   $$-\frac{103\pi}{6}+18\pi=-\frac{103\pi}{6}+\frac{108\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$
   Значит,
   $$z=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right);$$
б) $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right);$$
в) $$z=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4};$$
г) $$z=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}.$$