Упр.34.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Число z задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму: a) z = cos 7пи/4 + i sin 7пи/4; б) z = cos 10пи/4 + i sin 10пи/4; в) z = cos 9пи/4 + i sin 9пи/4; г) z = cos 101пи/4 + isin 101пи/4 .

Чтобы записать число в стандартной тригонометрической форме, нужно привести аргумент к промежутку $$[0;2\pi)$$, используя периодичность:

$$\cos(\alpha+2\pi k)=\cos\alpha,\qquad \sin(\alpha+2\pi k)=\sin\alpha.$$

1. $$z=\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}.$$

   Так как $$\frac{7\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi,$$ то

   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right).$$

2. $$z=\cos\frac{10\pi}{4}+i\sin\frac{10\pi}{4}=\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}.$$

   Вычтем $$2\pi$$:

   $$\frac{5\pi}{2}-2\pi=\frac{\pi}{2}.$$

   Значит,

   $$z=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}.$$

3. $$z=\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}.$$

   Так как $$\frac{9\pi}{4}=2\pi+\frac{\pi}{4},$$ то

   $$z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}.$$

4. $$z=\cos\frac{101\pi}{4}+i\sin\frac{101\pi}{4}.$$

   Вычтем $$12\cdot 2\pi=\frac{96\pi}{4}$$:

   $$\frac{101\pi}{4}-\frac{96\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right);$$
б) $$z=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2};$$
в) $$z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4};$$
г) $$z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}.$$