Упр.34.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих уравнению: a) |z| = |z — 1|; б) |z — 1| = |z — 3|; в) |z — l| = |z — i|; г) |z + 3i| = |z + 4|.

Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x,y\in\mathbb{R}.$$ Тогда равенство модулей означает равенство расстояний от точки $$M(x,y)$$ до соответствующих точек комплексной плоскости.

1. $$|z|=|z-1|$$

   $$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$$
   $$x^2+y^2=(x-1)^2+y^2$$
   $$x^2=x^2-2x+1$$
   $$2x=1$$
   $$x=\frac12.$$

   Это прямая $$x=\frac12.$$

2. $$|z-1|=|z-3|$$

   $$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(x-3)^2+y^2}$$
   $$(x-1)^2+y^2=(x-3)^2+y^2$$
   $$x^2-2x+1=x^2-6x+9$$
   $$4x=8$$
   $$x=2.$$

   Это прямая $$x=2.$$

3. $$|z-1|=|z-i|$$

   $$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$$
   $$(x-1)^2+y^2=x^2+(y-1)^2$$
   $$x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2-2y+1$$
   $$-2x=-2y$$
   $$y=x.$$

   Это прямая $$y=x.$$

4. $$|z+3i|=|z+4|$$

   $$\sqrt{x^2+(y+3)^2}=\sqrt{(x+4)^2+y^2}$$
   $$x^2+(y+3)^2=(x+4)^2+y^2$$
   $$x^2+y^2+6y+9=x^2+8x+16+y^2$$
   $$6y=8x+7$$
   $$y=\frac43x+\frac76.$$

   Это прямая $$y=\frac43x+\frac76.$$

Ответ

а) $$x=\frac12$$; б) $$x=2$$; в) $$y=x$$; г) $$y=\frac43x+\frac76$$.