Упр.33.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам z0 = 1, z1 = 1/2 + i корень3/2, z2 = (z1)2, z3 = (z1)3, z4 = (z1)4, z5 = (z1)5. б) Чему равна величина угла: угол z0Oz1 угол z1Oz2, …, угол z5Oz0? в) На каком расстоянии от начала координат находятся все эти точки? г) Перечислите все пары точек, соответствующих сопряженным друг к другу числам. Сколько таких пар?

Запишем данные числа в тригонометрической форме:

$$z_0=1=\cos 0+\sin 0\cdot i,$$

$$z_1=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3}\cdot i.$$

Тогда при возведении в степень получаем:

$$ z_2=z_1^2=\cos \frac{2\pi}{3}+\sin \frac{2\pi}{3}\cdot i=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i, $$

$$ z_3=z_1^3=\cos \pi+\sin \pi\cdot i=-1, $$

$$ z_4=z_1^4=\cos \frac{4\pi}{3}+\sin \frac{4\pi}{3}\cdot i=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i, $$

$$ z_5=z_1^5=\cos \frac{5\pi}{3}+\sin \frac{5\pi}{3}\cdot i=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. $$

а) На координатной плоскости это точки единичной окружности:

• $$z_0(1,0),$$
• $$z_1\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),$$
• $$z_2\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),$$
• $$z_3(-1,0),$$
• $$z_4\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),$$
• $$z_5\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

б) Все соседние углы между радиусами равны:

$$\angle z_0Oz_1=\angle z_1Oz_2=\angle z_2Oz_3=\angle z_3Oz_4=\angle z_4Oz_5=\angle z_5Oz_0=60^\circ.$$

в) Все точки находятся на расстоянии 1 от начала координат:

$$Oz_0=Oz_1=Oz_2=Oz_3=Oz_4=Oz_5=1.$$

г) Сопряжённые числа соответствуют точкам, симметричным относительно действительной оси:

$$z_1 \leftrightarrow z_5,\qquad z_2 \leftrightarrow z_4.$$

Всего таких пар 2.

Ответ

а) $$z_0(1,0),\ z_1\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\ z_2\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\ z_3(-1,0),\ z_4\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),\ z_5\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$
б) $$60^\circ$$.
в) $$1$$.
г) $$z_1 \leftrightarrow z_5,\ z_2 \leftrightarrow z_4$$; всего 2 пары.