Упр.33.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам z0 = 1, z1 = 1 + i, z2 = (1 + i)2, z3 = (1 + i)3, … , z7 = (1 + i)7. б) Чему равна величина угла: угол z0Oz1 угол z1Oz2, … , угол z6Оz7, угол z7Oz0? в) Перечислите все пары точек, лежащие по разные стороны от оси абсцисс. Сколько таких пар? г) Запишите все числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно. Сколько таких чисел?

Вычислим последовательно степени числа $$1+i$$:

$$z_0=1,$$
$$z_1=1+i,$$
$$z_2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i,$$
$$z_3=(1+i)^3=(1+i)\cdot 2i=-2+2i,$$
$$z_4=(1+i)^4=(2i)^2=-4,$$
$$z_5=(1+i)^5=-4-4i,$$
$$z_6=(1+i)^6=(2i)^3=-8i,$$
$$z_7=(1+i)^7=-8i(1+i)=8-8i.$$

а) На координатной плоскости этим числам соответствуют точки:

$$z_0(1,0),\ z_1(1,1),\ z_2(0,2),\ z_3(-2,2),\ z_4(-4,0),\ z_5(-4,-4),\ z_6(0,-8),\ z_7(8,-8).$$

б) При переходе от одного числа к следующему умножаем на $$1+i$$. Это означает поворот на $$45^\circ$$ и увеличение модуля в $$\sqrt{2}$$ раза. Поэтому все указанные углы равны:

$$\angle z_0Oz_1=\angle z_1Oz_2=\dots=\angle z_6Oz_7=\angle z_7Oz_0=45^\circ.$$

в) По разные стороны от оси абсцисс лежат точки с разными знаками мнимой части. Такими парами являются:

$$z_1z_5,\ z_1z_6,\ z_1z_7,\ z_2z_5,\ z_2z_6,\ z_2z_7,\ z_3z_5,\ z_3z_6,\ z_3z_7.$$

Всего таких пар $$9$$.

г) Произведение действительной и мнимой частей отрицательно у чисел, лежащих во II или IV четверти. Это точки:

$$z_3,\ z_7.$$

Таких чисел $$2$$.

Ответ

а) $$z_0(1,0),\ z_1(1,1),\ z_2(0,2),\ z_3(-2,2),\ z_4(-4,0),\ z_5(-4,-4),\ z_6(0,-8),\ z_7(8,-8)$$;
б) $$45^\circ$$;
в) $$9$$ пар;
г) $$z_3,\ z_7$$, всего $$2$$ числа.