Упр.33.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) z Re (z — 4) = i — 4; б) z Im (z + 2i) = 7 — i; в) z (Re z — 6) = 21i — 9; г) z (Im z + 4) = 10 + 4i.

Подробный ответ

Пусть $$z=x+yi$$, где $$x,y\in\mathbb{R}$$.
а) $$z\operatorname{Re}(z-4)=i-4$$
Так как $$\operatorname{Re}(z-4)=x-4$$, получаем
$$ (x+yi)(x-4)=i-4 $$
$$ x^2-4x+(xy-4y)i=-4+i $$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} x^2-4x=-4,\\ xy-4y=1. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x^2-4x+4=0,\quad (x-2)^2=0,\quad x=2. $$
Из второго уравнения:
$$ 2y-4y=1,\quad -2y=1,\quad y=-\frac12. $$
Следовательно, $$z=2-\frac12 i$$.
б) $$z\,\operatorname{Im}(z+2i)=7-i$$
Так как $$\operatorname{Im}(z+2i)=y+2$$, имеем
$$ (x+yi)(y+2)=7-i $$
$$ (xy+2x)+(y^2+2y)i=7-i $$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} xy+2x=7,\\ y^2+2y=-1. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ y^2+2y+1=0,\quad (y+1)^2=0,\quad y=-1. $$
Из первого уравнения:
$$ -x+2x=7,\quad x=7. $$
Следовательно, $$z=7-i$$.
в) $$\overline{z}\,(\operatorname{Re}z-6)=21i-9$$
Так как $$\overline{z}=x-yi$$ и $$\operatorname{Re}z=x$$, получаем
$$ (x-yi)(x-6)=21i-9 $$
$$ x^2-6x-(xy-6y)i=-9+21i $$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} x^2-6x=-9,\\ 6y-xy=21. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x^2-6x+9=0,\quad (x-3)^2=0,\quad x=3. $$
Из второго уравнения:
$$ 6y-3y=21,\quad 3y=21,\quad y=7. $$
Следовательно, $$z=3+7i$$.
г) $$\overline{z}\,(\operatorname{Im}z+4)=10+4i$$
Так как $$\operatorname{Im}z=y$$ и $$\overline{z}=x-yi$$, имеем
$$ (x-yi)(y+4)=10+4i $$
$$ (xy+4x)+(-y^2-4y)i=10+4i $$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} xy+4x=10,\\ -y^2-4y=4. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ y^2+4y+4=0,\quad (y+2)^2=0,\quad y=-2. $$
Из первого уравнения:
$$ -2x+4x=10,\quad 2x=10,\quad x=5. $$
Следовательно, $$z=5-2i$$.