Упр.33.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) z Re z = z Im z; 6) z Re z = z Im z; в) z Im z = z Re z; г) z Re z = z Re z.

Подробный ответ

а) Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline z=x-yi.$$
Из условия:
$$z\operatorname{Re}z=\overline z\,\operatorname{Im}\overline z.$$
Подставим $$\operatorname{Re}z=x,$$ $$\operatorname{Im}\overline z=-y$$:
$$ (x+yi)x=(x-yi)(-y). $$
Раскроем скобки:
$$x^2+xyi=-xy+y^2i.$$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} x^2=-xy,\\ xy=y^2. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$x(x+y)=0,$$ из второго $$y(x-y)=0.$$ Совместно это возможно только при $$x=0$$ и $$y=0.$$
Значит, $$z=0.$$
б) Пусть $$z=x+yi,$$ $$\overline z=x-yi.$$
Из условия:
$$z\operatorname{Re}\overline z=\overline z\,\operatorname{Im}z.$$
Так как $$\operatorname{Re}\overline z=x,$$ $$\operatorname{Im}z=y,$$ получаем:
$$ (x+yi)x=(x-yi)y. $$
Раскроем скобки:
$$x^2+xyi=xy-y^2i.$$
Сравним действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} x^2=xy,\\ xy=-y^2. \end{cases} $$
Тогда $$x(x-y)=0,$$ $$y(x+y)=0,$$ откуда снова $$x=0$$ и $$y=0.$$
Следовательно, $$z=0.$$
в) Пусть $$z=x+yi,$$ $$\overline z=x-yi.$$
Из условия:
$$z\operatorname{Im}\overline z=\overline z\,\operatorname{Re}z.$$
Так как $$\operatorname{Im}\overline z=-y,$$ $$\operatorname{Re}z=x,$$ имеем:
$$ (x+yi)(-y)=(x-yi)x. $$
Раскроем скобки:
$$-xy-y^2i=x^2-xyi.$$
Сравним действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} -xy=x^2,\\ -y^2=-xy. \end{cases} $$
Отсюда $$xy=-x^2$$ и $$xy=y^2,$$ значит $$-x^2=y^2.$$ Это возможно только при $$x=0$$ и $$y=0.$$
Следовательно, $$z=0.$$
г) Пусть $$z=x+yi,$$ $$\overline z=x-yi.$$
Из условия:
$$z\operatorname{Re}z=\overline z\,\operatorname{Re}\overline z.$$
Но $$\operatorname{Re}z=\operatorname{Re}\overline z=x,$$ поэтому
$$zx=\overline z\,x.$$
Если $$x\neq 0,$$ то можно сократить на $$x$$ и получаем $$z=\overline z,$$ то есть $$y=0.$$ Тогда $$z$$ — действительное число.
Если $$x=0,$$ то $$z=yi$$ — чисто мнимое число.
Значит, подходит любое действительное или чисто мнимое число.