Упр.33.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) z Im z — i; 6) z Im z = -i; в) z (Im z)2 = i; г) z (Im z)2 = -i.
Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x,y\in \mathbb{R}.$$ Тогда $$\operatorname{Im} z=y.$$
$$z\,\operatorname{Im} z=i$$
$$ (x+yi)y=i $$
$$ xy+y^2i=i $$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$ \begin{cases} xy=0,\\ y^2=1. \end{cases} $$
Из $$y^2=1$$ получаем $$y=\pm 1,$$ а из $$xy=0$$ при $$y\neq 0$$ следует $$x=0.$$
Значит, $$z=\pm i.$$
$$z\,\operatorname{Im} z=-i$$
$$ (x+yi)y=-i $$
$$ xy+y^2i=-i $$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$ \begin{cases} xy=0,\\ y^2=-1. \end{cases} $$
Уравнение $$y^2=-1$$ не имеет действительных решений, значит, корней нет.
$$z(\operatorname{Im} z)^2=i$$
$$ (x+yi)y^2=i $$
$$ xy^2+y^3i=i $$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$ \begin{cases} xy^2=0,\\ y^3=1. \end{cases} $$
Из $$y^3=1$$ получаем $$y=1,$$ тогда из $$xy^2=0$$ следует $$x=0.$$
Значит, $$z=i.$$
$$z(\operatorname{Im} z)^2=-i$$
$$ (x+yi)y^2=-i $$
$$ xy^2+y^3i=-i $$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$ \begin{cases} xy^2=0,\\ y^3=-1. \end{cases} $$
Из $$y^3=-1$$ получаем $$y=-1,$$ тогда из $$xy^2=0$$ следует $$x=0.$$
Значит, $$z=-i.$$
Ответ
а) $$z=\pm i$$; б) корней нет; в) $$z=i$$; г) $$z=-i$$.
