Упр.33.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) z Re z = 1; б) z Re z = -1; в) z (Re z)2 = 1; г) z (Re z)2 = -1.

1. Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x=\operatorname{Re} z.$$ Тогда в каждом пункте подставим $$\operatorname{Re} z=x.$$

2. а)

   $$ z\,\operatorname{Re} z=1 $$
   $$ (x+yi)x=1 $$
   $$ x^2+xyi=1+0i $$
   Отсюда
   $$ \begin{cases} x^2=1,\\ xy=0. \end{cases} $$
   Из $$x^2=1$$ получаем $$x=\pm1.$$ Тогда из $$xy=0$$ следует $$y=0.$$
   Значит,
   $$ z=\pm1. $$

3. б)

   $$ z\,\operatorname{Re} z=-1 $$
   $$ (x+yi)x=-1 $$
   $$ x^2+xyi=-1+0i $$
   Тогда
   $$ \begin{cases} x^2=-1,\\ xy=0. \end{cases} $$
   Уравнение $$x^2=-1$$ не имеет действительных решений, значит, решений нет.

4. в)

   $$ z(\operatorname{Re} z)^2=1 $$
   $$ (x+yi)x^2=1 $$
   $$ x^3+x^2yi=1+0i $$
   Отсюда
   $$ \begin{cases} x^3=1,\\ x^2y=0. \end{cases} $$
   Получаем $$x=1,$$ а из $$x^2y=0$$ следует $$y=0.$$
   Значит,
   $$ z=1. $$

5. г)

   $$ z(\operatorname{Re} z)^2=-1 $$
   $$ (x+yi)x^2=-1 $$
   $$ x^3+x^2yi=-1+0i $$
   Тогда
   $$ \begin{cases} x^3=-1,\\ x^2y=0. \end{cases} $$
   Получаем $$x=-1,$$ а из $$x^2y=0$$ следует $$y=0.$$
   Значит,
   $$ z=-1. $$

Ответ

а) $$z=\pm1$$; б) решений нет; в) $$z=1$$; г) $$z=-1$$.