Упр.33.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной ПЛОСКОСТИ ТОЧКИ zn = (n + 1) + 3i/n. б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гиперболе; составьте уравнение гиперболы. в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс. г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат.

Пусть $$z_n=(n+1)+\frac{3}{n}i.$$ Тогда каждой точке на комплексной плоскости соответствует пара координат $$\left(n+1,\frac{3}{n}\right).$$

1. Для $$n=1,2,3,4,5,6$$ получаем:

   $$z_1=2+3i,\quad z_2=3+1{,}5i,\quad z_3=4+i,$$
   $$z_4=5+0{,}75i,\quad z_5=6+0{,}6i,\quad z_6=7+0{,}5i.$$

2. Обозначим $$x=n+1,$$ тогда $$n=x-1.$$ Подставим в выражение для мнимой части:

   $$y=\frac{3}{n}=\frac{3}{x-1}.$$

   Следовательно, все точки лежат на гиперболе

   $$y=\frac{3}{x-1}.$$

3. Расстояние точки $$z_n$$ до оси абсцисс равно модулю её мнимой части:

   $$\left|\frac{3}{n}\right|=\frac{3}{n}.$$

   Это расстояние наименьшее при наибольшем $$n,$$ то есть при $$n=6.$$ Значит, ближайшая к оси абсцисс точка — $$z_6=7+0{,}5i.$$

4. Найдём расстояния до начала координат:

   $$d_n=\sqrt{(n+1)^2+\left(\frac{3}{n}\right)^2}.$$

   Для $$n=1,2,3,4,5,6$$:

   $$d_1=\sqrt{13},\quad d_2=\sqrt{11{,}25},\quad d_3=\sqrt{17},\quad d_4>\sqrt{17},\quad d_5>\sqrt{17},\quad d_6>\sqrt{17}.$$

   Наименьшее расстояние у точки $$z_2=3+1{,}5i.$$

Ответ

а) $$z_1=2+3i,\ z_2=3+1{,}5i,\ z_3=4+i,\ z_4=5+0{,}75i,\ z_5=6+0{,}6i,\ z_6=7+0{,}5i.$$
б) $$y=\frac{3}{x-1}.$$
в) $$z_6=7+0{,}5i.$$
г) $$z_2=3+1{,}5i.$$