Упр.33.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной плоскости точки zn = (n — 1) + (n2 — 5п + 6)i. б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы. в) Найдите действительную часть суммы z1 + z2 + … + z6. г) Укажите номер n, начиная с которого мнимая часть числа zn будет больше 100.

Подробный ответ

Пусть $$z_n=(n-1)+(n^2-5n+6)i.$$ Тогда действительная часть числа $$z_n$$ равна $$x=n-1,$$ а мнимая часть — $$y=n^2-5n+6.$$

Для $$n=1,2,3,4,5,6$$ получаем:
$$z_1=(1-1)+(1-5+6)i=2i,$$
$$z_2=(2-1)+(4-10+6)i=1,$$
$$z_3=(3-1)+(9-15+6)i=2,$$
$$z_4=(4-1)+(16-20+6)i=3+2i,$$
$$z_5=(5-1)+(25-25+6)i=4+6i,$$
$$z_6=(6-1)+(36-30+6)i=5+12i.$$
Соответствующие точки на плоскости: $$ (0,2),\ (1,0),\ (2,0),\ (3,2),\ (4,6),\ (5,12). $$
Докажем, что все точки лежат на одной параболе. Из $$x=n-1$$ находим $$n=x+1.$$ Подставим в выражение для $$y$$:
$$ y=n^2-5n+6=(x+1)^2-5(x+1)+6 $$
$$ y=x^2+2x+1-5x-5+6=x^2-3x+2. $$
Значит, все точки лежат на параболе $$y=x^2-3x+2.$$
Найдём действительную часть суммы:
$$ \operatorname{Re}(z_1+z_2+\cdots+z_6)=(1-1)+(2-1)+\cdots+(6-1) $$
$$ =0+1+2+3+4+5=15. $$
Требуется, чтобы мнимая часть была больше $$100$$:
$$ n^2-5n+6>100 $$
$$ n^2-5n-94>0. $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D=25+4\cdot 94=401, $$
$$ n_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{401}}{2}. $$
Так как $$\frac{5-\sqrt{401}}{2}<0$$, а $$\frac{5+\sqrt{401}}{2}\approx 12{,}5,$$ то при натуральных $$n$$ неравенство выполняется начиная с $$n=13.$$