Упр.33.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Для n = 1, 2, 3, 4 изобразите на координатной плоскости точки zn = (2n — 1) + (5 — n)i; б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой l; составьте уравнение прямой; в) укажите число, лежащее на прямой l, у которого Re z = -5; г) укажите число, лежащее на прямой l, у которого Im z — 8.

Пусть $$z_n=(2n-1)+(5-n)i.$$ Тогда для заданных значений $$n$$ получаем:

$$z_1=(2\cdot1-1)+(5-1)i=1+4i,$$
$$z_2=(2\cdot2-1)+(5-2)i=3+3i,$$
$$z_3=(2\cdot3-1)+(5-3)i=5+2i,$$
$$z_4=(2\cdot4-1)+(5-4)i=7+i.$$

Эти числа соответствуют точкам $$ (1,4), (3,3), (5,2), (7,1) $$ на координатной плоскости.

Найдём уравнение прямой, на которой лежат все эти точки. Из формулы $$x=2n-1$$ получаем:

$$2n=x+1,$$
$$n=\frac{x+1}{2}.$$

Тогда

$$y=5-n=5-\frac{x+1}{2}=\frac{9-x}{2}.$$

Следовательно, прямая $$l$$ имеет уравнение

$$y=\frac{9-x}{2}$$

или

$$y=4{,}5-0{,}5x.$$

в) Если $$\operatorname{Re} z=-5,$$ то $$x=-5.$$ Подставим в уравнение прямой:

$$y=4{,}5-0{,}5\cdot(-5)=4{,}5+2{,}5=7.$$

Значит, искомое число:

$$z=-5+7i.$$

г) Если $$\operatorname{Im} z=8,$$ то $$y=8.$$ Тогда

$$8=4{,}5-0{,}5x,$$
$$0{,}5x=-3{,}5,$$
$$x=-7.$$

Следовательно, искомое число:

$$z=-7+8i.$$

Ответ

а) $$z_1=1+4i,\ z_2=3+3i,\ z_3=5+2i,\ z_4=7+i.$$
б) $$l:\ y=\frac{9-x}{2}$$ или $$y=4{,}5-0{,}5x.$$
в) $$z=-5+7i.$$
г) $$z=-7+8i.$$