Упр.33.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина:

1. Изобразим на координатной плоскости комплексные числа

   $$z_1=-3+i,\qquad z_2=5+2i.$$

   Им соответствуют точки $$(-3;1)$$ и $$\left(5;2\right).$$

2. Найдём, при каком $$a$$ число $$az_1+z_2$$ является чисто мнимым:

   $$ az_1+z_2=a(-3+i)+(5+2i)=(-3a+5)+(a+2)i. $$

   Для чисто мнимого числа действительная часть должна быть равна нулю:

   $$-3a+5=0,$$

   откуда

   $$a=\frac{5}{3}.$$

3. Построим сумму чисел $$az_1$$ и $$z_2$$ при $$a=\frac{5}{3}$$:

   $$ az_1=\frac{5}{3}(-3+i)=-5+\frac{5}{3}i, $$

   $$ az_1+z_2=\left(-5+\frac{5}{3}i\right)+(5+2i)=\frac{11}{3}i. $$

   Это число лежит на мнимой оси.

4. Найдём, при каком $$a$$ число $$az_1+z_2$$ является действительным:

   $$ az_1+z_2=a(-3+i)+(5+2i)=(-3a+5)+(a+2)i. $$

   Для действительного числа мнимая часть должна быть равна нулю:

   $$a+2=0,$$

   откуда

   $$a=-2.$$

5. При $$a=-2$$ получаем:

   $$ az_1=-2(-3+i)=6-2i, $$

   $$ az_1+z_2=(6-2i)+(5+2i)=11. $$

   Это число лежит на действительной оси.

Ответ

а) $$z_1=(-3;1),\ z_2=(5;2).$$

б) $$a=\frac{5}{3}.$$

в) $$az_1+z_2=\frac{11}{3}i.$$

г) $$a=-2.$$

При $$a=-2$$: $$az_1+z_2=11.$$