Упр.33.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Изобразите на координатной плоскости числа z1 = -3 + i и z2 = 5 + 2i. б) Найдите действительный коэффициент а, при котором z1 + az2 — чисто мнимое число. в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел z1 и az2 из пункта б). г) Найдите действительный коэффициент а, при котором z1 + az2 — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел z1 и az2.

Пусть $$z_1=-3+i,$$ $$z_2=5+2i.$$

1. На координатной плоскости этим числам соответствуют точки $$(-3;1)$$ и $$ (5;2).$$

2. Найдём $$a,$$ при котором число $$z_1+az_2$$ будет чисто мнимым:

   $$ z_1+az_2=(-3+i)+a(5+2i)=(5a-3)+(2a+1)i. $$

   Для чисто мнимого числа действительная часть должна быть равна нулю:

   $$ 5a-3=0,\qquad a=\frac35. $$

3. Тогда

   $$ az_2=\frac35(5+2i)=3+\frac65 i, $$

   а сумма

   $$ z_1+az_2=(-3+i)+\left(3+\frac65 i\right)=\frac{11}{5}i. $$

   Это чисто мнимое число.

4. Найдём $$a,$$ при котором число $$z_1+az_2$$ будет действительным:

   $$ z_1+az_2=(5a-3)+(2a+1)i. $$

   Для действительного числа мнимая часть должна быть равна нулю:

   $$ 2a+1=0,\qquad a=-\frac12. $$

5. Тогда

   $$ az_2=-\frac12(5+2i)=-\frac52-i, $$

   и

   $$ z_1+az_2=(-3+i)+\left(-\frac52-i\right)=-\frac{11}{2}. $$

   Это действительное число.

Ответ

а) $$z_1=(-3;1),\ z_2=(5;2).$$
б) $$a=\frac35.$$
в) $$z_1+az_2=\frac{11}{5}i.$$
г) $$a=-\frac12.$$
$$z_1+az_2=-\frac{11}{2}.$$