Упр.33.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Re z + Im z > = 0; б) 1 < Re z + Im z < 2; в) 1 < (Re z)2 + (Im z)2 < 16; г) (Re z)2 + (Im z)2 < 1 или 16 < (Re z)2 + (Im z)2.

Пусть $$z=x+iy,$$ где $$x=\operatorname{Re} z,$$ $$y=\operatorname{Im} z.$$ Тогда каждое неравенство перепишем через $$x$$ и $$y$$.

1. $$\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z\ge 0$$

   Получаем:

   $$x+y\ge 0,$$

   то есть

   $$y\ge -x.$$

   Это полуплоскость, лежащая выше прямой $$y=-x,$$ включая саму прямую.

2. $$1<\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z<2$$

   То есть

   $$1<x+y<2,$$

   или

   $$y>1-x,\qquad y<2-x.$$

   Это полоса между прямыми $$y=1-x$$ и $$y=2-x,$$ без самих границ.

3. $$1<(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2<16$$

   То есть

   $$1<x^2+y^2<16.$$

   Следовательно, это кольцо между окружностями

   $$x^2+y^2=1 \quad \text{и} \quad x^2+y^2=16,$$

   без границ.

4. $$ (\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2<1 \quad \text{или} \quad 16<(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2 $$

   То есть

   $$x^2+y^2<1 \quad \text{или} \quad x^2+y^2>16.$$

   Это объединение внутренности круга радиуса $$1$$ и внешности круга радиуса $$4,$$ границы не входят.

Ответ

а) $$y\ge -x$$;
б) $$1-x<y<2-x$$;
в) $$1<x^2+y^2<16$$;
г) $$x^2+y^2<1$$ или $$x^2+y^2>16$$.