Упр.33.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Im z > = 2 или Re z < 3; б) Im z > 2 или Re z = < 3; в) Re z > (Im z)2 и (Re z)2 > Im z; г) Im z > = 2 Re z или Re z < 3 Im z.

1. Пусть $$z=x+iy,$$ где $$x=\operatorname{Re} z,$$ $$y=\operatorname{Im} z.$$ Тогда каждое неравенство переводим на координатную плоскость.

2. а) $$\operatorname{Im} z \ge 2 \ \text{или}\ \operatorname{Re} z < 3.$$

   Это означает $$y \ge 2 \ \text{или}\ x < 3.$$

   Получаем объединение двух полуплоскостей: выше прямой $$y=2$$ и левее прямой $$x=3.$$

3. б) $$\operatorname{Im} z > 2 \ \text{или}\ \operatorname{Re} z \le 3.$$

   То есть $$y > 2 \ \text{или}\ x \le 3.$$

   Это объединение полуплоскостей: выше прямой $$y=2$$ и левее или на прямой $$x=3.$$

4. в) $$\operatorname{Re} z > (\operatorname{Im} z)^2 \ \text{и}\ (\operatorname{Re} z)^2 > \operatorname{Im} z.$$

   Получаем систему

   $$x > y^2, \qquad x^2 > y.$$

   Первое неравенство задаёт область справа от параболы $$x=y^2,$$ второе — область ниже параболы $$y=x^2.$$ Искомое множество — их пересечение.

5. г) $$\operatorname{Im} z \ge 2\operatorname{Re} z \ \text{или}\ \operatorname{Re} z < 3\operatorname{Im} z.$$

   То есть

   $$y \ge 2x \ \text{или}\ x < 3y,$$

   или, что то же самое,

   $$y \ge 2x \ \text{или}\ y > \frac{x}{3}.$$

   Это объединение двух полуплоскостей: выше прямой $$y=2x$$ и выше прямой $$y=\frac{x}{3}.$$

Ответ

а) $$y \ge 2 \ \text{или}\ x < 3$$;
б) $$y > 2 \ \text{или}\ x \le 3$$;
в) $$x > y^2,\ x^2 > y$$;
г) $$y \ge 2x \ \text{или}\ y > \frac{x}{3}$$.