Упр.32.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным -i. a) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.

Дана геометрическая прогрессия: $$b_1=i,\quad q=-i.$$

1. Найдём первые 7 членов:

   $$b_1=i,$$
   $$b_2=b_1q=i\cdot(-i)=-i^2=1,$$
   $$b_3=b_2q=1\cdot(-i)=-i,$$
   $$b_4=b_3q=(-i)\cdot(-i)=i^2=-1,$$
   $$b_5=b_4q=(-1)\cdot(-i)=i,$$
   $$b_6=b_5q=i\cdot(-i)=1,$$
   $$b_7=b_6q=1\cdot(-i)=-i.$$

   Первые 7 членов: $$i;\ 1;\ -i;\ -1;\ i;\ 1;\ -i.$$

2. Найдём 27-й член:

   $$b_{27}=b_1q^{26}=i\cdot(-i)^{26}=i\cdot i^{26}=i\cdot(i^2)^{13}=i\cdot(-1)^{13}=-i.$$

3. Найдём сумму первых 2007 членов:

   $$S_{2007}=\frac{b_1(q^{2007}-1)}{q-1}=\frac{i\bigl((-i)^{2007}-1\bigr)}{-i-1}.$$

   Так как $$(-i)^{2007}=-i,$$ то
   $$S_{2007}=\frac{i(-i-1)}{-i-1}=1.$$

4. Найдём сумму членов с 15-го по 30-й:

   $$S_{15\text{–}30}=S_{30}-S_{14}.$$

   $$S_{14}=\frac{i\bigl((-i)^{14}-1\bigr)}{-i-1},\qquad S_{30}=\frac{i\bigl((-i)^{30}-1\bigr)}{-i-1}.$$

   Так как $$(-i)^{14}=-1,\quad (-i)^{30}=-1,$$ получаем
   $$S_{14}=\frac{i(-1-1)}{-i-1}=\frac{2i}{i+1},\qquad S_{30}=\frac{i(-1-1)}{-i-1}=\frac{2i}{i+1}.$$

   Тогда
   $$S_{15\text{–}30}=S_{30}-S_{14}=0.$$

Ответ

а) $$i;\ 1;\ -i;\ -1;\ i;\ 1;\ -i$$; б) $$-i$$; в) $$1$$; г) $$0$$.