Упр.32.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (-i)3; б) (-2i)5; в) -i22 — (-i)22; г) i3 + i5 + i7 + … + i2005.

Используем свойства степеней мнимой единицы: $$i^2=-1,$$ поэтому степени $$i$$ повторяются с периодом 4.

1. $$(-i)^3=(-i)^2\cdot(-i)=i^2\cdot(-i)=-1\cdot(-i)=i.$$

2. $$(-2i)^5=(-2i)^4\cdot(-2i)=16\cdot i^4\cdot(-2i)=16\cdot 1\cdot(-2i)=-32i.$$

3. $$-i^{22}-(-i)^{22}=-\left(i^2\right)^{11}-\left((-i)^2\right)^{11}=-(-1)^{11}-(-1)^{11}=1+1=2.$$

4. $$i^3+i^5+i^7+\dots+i^{2005}=i\left(i^2+i^4+i^6+\dots+i^{2004}\right)$$
   $$=i\left((-1)+1+(-1)+\dots+1\right).$$

   В скобках 1003 слагаемых, они попарно сокращаются, поэтому сумма равна $$0$$.

Ответ

а) $$i$$; б) $$-32i$$; в) $$2$$; г) $$0$$.