Упр.32.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для комплексного числа z найдите сопряженное число z и вычислите произведение zz и частное z/z a) z = i; б) z = -i; в) z = 3 — 7i; г) z = -5 — 6i.

Для комплексного числа $$z=a+bi$$ сопряжённое число имеет вид $$\overline{z}=a-bi$$. При этом

$$z\overline{z}=a^2+b^2,$$

а частное $$\dfrac{\overline{z}}{z}$$ находим, домножая числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число.

1. $$z=i$$

   $$\overline{z}=-i$$

   $$z\overline{z}=i\cdot(-i)=-i^2=1$$

   $$\dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{-i}{i}=-1$$

2. $$z=-i$$

   $$\overline{z}=i$$

   $$z\overline{z}=(-i)\cdot i=-i^2=1$$

   $$\dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{i}{-i}=-1$$

3. $$z=3-7i$$

   $$\overline{z}=3+7i$$

   $$z\overline{z}=(3-7i)(3+7i)=9-49i^2=58$$

   $$\dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{3+7i}{3-7i}\cdot\dfrac{3+7i}{3+7i}=\dfrac{(3+7i)^2}{(3-7i)(3+7i)}$$

   $$\dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{9+42i+49i^2}{58}=\dfrac{-40+42i}{58}=\dfrac{-20+21i}{29}$$

4. $$z=-5-6i$$

   $$\overline{z}=-5+6i$$

   $$z\overline{z}=(-5-6i)(-5+6i)=25-36i^2=61$$

   $$\dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{-5+6i}{-5-6i}\cdot\dfrac{-5+6i}{-5+6i}=\dfrac{(-5+6i)^2}{(-5-6i)(-5+6i)}$$

   $$\dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{25-60i+36i^2}{61}=\dfrac{-11-60i}{61}$$

Ответ

а) $$\overline{z}=-i,\quad z\overline{z}=1,\quad \dfrac{\overline{z}}{z}=-1$$;
б) $$\overline{z}=i,\quad z\overline{z}=1,\quad \dfrac{\overline{z}}{z}=-1$$;
в) $$\overline{z}=3+7i,\quad z\overline{z}=58,\quad \dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{-20+21i}{29}$$;
г) $$\overline{z}=-5+6i,\quad z\overline{z}=61,\quad \dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{-11-60i}{61}$$.