Упр.32.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения 3×2 + ах + 6 = 0: a) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число; в) оба корня действительные, но не рациональные числа г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим уравнение $$3x^2+ax+6=0.$$

Его дискриминант:

$$D=a^2-4\cdot 3\cdot 6=a^2-72.$$

Корни равны

$$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-72}}{6}.$$

1. Оба корня целые, но не натуральные числа.

   Возьмём $$\sqrt{a^2-72}=3.$$ Тогда

   $$a^2-72=9,$$

   $$a^2=81,$$

   $$a=9.$$

   При этом корни:

   $$x_1=\frac{-9+3}{6}=-1,\qquad x_2=\frac{-9-3}{6}=-2,$$

   то есть оба целые и не натуральные.

2. Оба корня рациональные, но только один из них — целое число.

   Возьмём $$\sqrt{a^2-72}=7.$$ Тогда

   $$a^2-72=49,$$

   $$a^2=121,$$

   $$a=-11.$$

   Тогда

   $$x_1=\frac{11+7}{6}=3,\qquad x_2=\frac{11-7}{6}=\frac23,$$

   то есть один корень целый, другой рациональный, но не целый.

3. Оба корня действительные, но не рациональные числа.

   Пусть

   $$\sqrt{a^2-72}=\sqrt{28}.$$ Тогда

   $$a^2-72=28,$$

   $$a^2=100,$$

   $$a=10.$$

   В этом случае

   $$x=\frac{-10\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt7}{3},$$

   поэтому оба корня действительные, но иррациональные.

4. Действительных корней нет, если $$D<0.$$

   $$a^2-72<0,$$

   $$a^2<72,$$

   $$-6\sqrt2<a<6\sqrt2.$$

Ответ

а) $$a=9$$; б) $$a=-11$$; в) $$a=10$$; г) $$-6\sqrt2<a<6\sqrt2$$.