Упр.32.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Среди корней уравнения z + 1 = 1/(z+1) найдите корень: a) у которого действительная часть наименьшая; б) у которого мнимая часть наименьшая; в) который ближе всего расположен к началу координат; г) который ближе всего расположен к числу i.
Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline{z}=x-yi.$$ Подставим в уравнение:
$$\overline{z}+1=\frac{1}{z+1}.$$
Умножим на $$z+1$$:
$$ (\overline{z}+1)(z+1)=1. $$
Раскроем скобки:
$$ \overline{z}z+\overline{z}+z+1=1, $$
то есть
$$ z\overline{z}+z+\overline{z}=0. $$
Так как $$z\overline{z}=x^2+y^2,$$ а $$z+\overline{z}=2x,$$ получаем
$$ x^2+y^2+2x=0. $$
Приведём к виду окружности:
$$ x^2+2x+1+y^2=1, $$
$$ (x+1)^2+y^2=1. $$
Это окружность с центром $$(-1,0)$$ и радиусом $$1.$$
Тогда:
- наименьшая действительная часть у точки $$(-2,0),$$ значит $$z=-2;$$
- наименьшая мнимая часть у точки $$(-1,-1),$$ значит $$z=-1-i;$$
- ближе всего к началу координат находится точка $$ (0,0), $$ значит $$z=0;$$
- ближе всего к числу $$i=(0,1)$$ находится точка окружности, лежащая на луче из центра в направлении точки $$i.$$
Угол этого луча равен $$45^\circ,$$ поэтому
$$ x=-1+\cos 45^\circ=-1+\frac{1}{\sqrt{2}}, $$
$$ y=\sin 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$
Следовательно,
$$ z=-1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+i. $$
Ответ
а) $$-2$$; б) $$-1-i$$; в) $$0$$; г) $$\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+i.$$
