Упр.32.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Среди корней уравнения z2 + (z)2 = 8 укажите все корни: a) с нулевой мнимой частью; б) с мнимой частью, равной 1; в) у которых действительная часть равна мнимой части; г) у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части.

Пусть $$z=x+iy,$$ тогда $$\overline{z}=x-iy.$$

Из уравнения

$$z^2+(\overline{z})^2=8$$

получаем:

$$ (x+iy)^2+(x-iy)^2=8 $$

$$ x^2+2ixy-y^2+x^2-2ixy-y^2=8 $$

$$ 2x^2-2y^2=8 $$

$$ x^2-y^2=4. $$

а) Нулевая мнимая часть: $$y=0.$$ Тогда

$$x^2=4,$$

откуда $$x=\pm 2.$$

Значит, $$z=\pm 2.$$

б) Мнимая часть равна 1: $$y=1.$$ Тогда

$$x^2-1=4,$$

$$x^2=5,$$

$$x=\pm \sqrt5.$$

Значит, $$z=\pm \sqrt5+i.$$

в) Действительная часть равна мнимой: $$x=y.$$ Тогда

$$x^2-x^2=4,$$

что невозможно. Корней нет.

г) Действительная часть в три раза больше положительной мнимой части: $$x=3y,\ y>0.$$ Тогда

$$ (3y)^2-y^2=4 $$

$$ 8y^2=4 $$

$$ y^2=\frac12,\qquad y=\frac1{\sqrt2}. $$

Тогда

$$ x=3y=\frac3{\sqrt2}, $$

и

$$ z=\frac3{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}=\frac{3+i}{\sqrt2}. $$

Ответ

а) $$\pm 2$$; б) $$\pm \sqrt5+i$$; в) корней нет; г) $$\dfrac{3+i}{\sqrt2}$$.