Упр.32.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: a) 5z1 — 3z2 = -9 + 5i, 4z1 + z2 = 3 — 4i. б) 7z1 — 2z2 = 7 — 4i, 3z1 + z2 = 3 — 2i. в) 4z1 + z2 = 7 — 6i, 3z1 — 2z2 = -3 — i. г) iz1 + 2z2 = 3 + 8i, 2iz1 — z2 = 7i.

Подробный ответ

а) Пусть $$z_1=a+bi,$$ $$z_2=c+di.$$ Тогда система равносильна системе для действительных и мнимых частей:
$$ \begin{cases} 5a-3c=-9,\\ 5b+3d=5,\\ 4a+c=3,\\ d-4b=-4. \end{cases} $$
Из первых и третьих уравнений:
$$ a=\frac{3-c}{4}, \qquad a=\frac{3c-9}{5}. $$
Приравниваем:
$$ \frac{3c-9}{5}=\frac{3-c}{4} \Rightarrow 4(3c-9)=5(3-c) \Rightarrow 17c=51 \Rightarrow c=3. $$
Тогда
$$ a=\frac{3-3}{4}=0. $$
Из второго и четвёртого уравнений:
$$ b=\frac{5-3d}{5}, \qquad b=\frac{d+4}{4}. $$
$$ \frac{5-3d}{5}=\frac{d+4}{4} \Rightarrow 4(5-3d)=5(d+4) \Rightarrow 16d=0 \Rightarrow d=0. $$
Тогда
$$ b=\frac{0+4}{4}=1. $$
Следовательно, $$z_1= i,$$ $$z_2=3.$$
б) Пусть $$z_1=a+bi,$$ $$z_2=c+di.$$ Получаем систему:
$$ \begin{cases} 7a+2c=7,\\ 7b-2d=-4,\\ 3a-c=3,\\ 3b+d=2. \end{cases} $$
Из первых и третьих уравнений:
$$ a=\frac{7-2c}{7}, \qquad a=\frac{3+c}{3}. $$
$$ \frac{7-2c}{7}=\frac{3+c}{3} \Rightarrow 3(7-2c)=7(3+c) \Rightarrow 13c=0 \Rightarrow c=0. $$
Тогда
$$ a=\frac{3+0}{3}=1. $$
Из второго и четвёртого уравнений:
$$ b=\frac{2d-4}{7}, \qquad b=\frac{2-d}{3}. $$
$$ \frac{2d-4}{7}=\frac{2-d}{3} \Rightarrow 3(2d-4)=7(2-d) \Rightarrow 13d=26 \Rightarrow d=2. $$
Тогда
$$ b=\frac{2-2}{3}=0. $$
Следовательно, $$z_1=1,$$ $$z_2=2i.$$
в) Пусть $$z_1=a+bi,$$ $$z_2=c+di.$$ Тогда:
$$ \begin{cases} 4a+c=7,\\ 4b+d=6,\\ 3a-2c=-3,\\ 3b-2d=-1. \end{cases} $$
Из первых и третьих уравнений:
$$ a=\frac{7-c}{4}, \qquad a=\frac{2c-3}{3}. $$
$$ \frac{7-c}{4}=\frac{2c-3}{3} \Rightarrow 3(7-c)=4(2c-3) \Rightarrow 11c=33 \Rightarrow c=3. $$
Тогда
$$ a=\frac{7-3}{4}=1. $$
Из второго и четвёртого уравнений:
$$ b=\frac{6-d}{4}, \qquad b=\frac{2d-1}{3}. $$
$$ \frac{6-d}{4}=\frac{2d-1}{3} \Rightarrow 3(6-d)=4(2d-1) \Rightarrow 11d=22 \Rightarrow d=2. $$
Тогда
$$ b=\frac{6-2}{4}=1. $$
Следовательно, $$z_1=1+i,$$ $$z_2=3+2i.$$
г) Пусть $$z_1=a+bi,$$ $$z_2=c+di.$$ Имеем:
$$ \begin{cases} i(a-bi)+2(c+di)=3+8i,\\ 2i(a+bi)-(c-di)=7i. \end{cases} $$
После раскрытия скобок:
$$ \begin{cases} 2c+b+(a+2d)i=3+8i,\\ -c-2b+(2a+d)i=7i. \end{cases} $$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} 2c+b=3,\\ a+2d=8,\\ c+2b=0,\\ 2a+d=7. \end{cases} $$
Из первых и третьих уравнений:
$$ b=3-2c, \qquad b=-\frac{c}{2}. $$
$$ 3-2c=-\frac{c}{2} \Rightarrow 6-4c=-c \Rightarrow 3c=6 \Rightarrow c=2. $$
Тогда
$$ b=-\frac{2}{2}=-1. $$
Из второго и четвёртого уравнений:
$$ a=8-2d, \qquad a=\frac{7-d}{2}. $$
$$ 8-2d=\frac{7-d}{2} \Rightarrow 16-4d=7-d \Rightarrow 3d=9 \Rightarrow d=3. $$
Тогда
$$ a=8-2\cdot 3=2. $$
Следовательно, $$z_1=2-i,$$ $$z_2=2+3i.$$