Упр.32.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дано: z1 = 1 — i; z2 — 4 + i. Найдите: a) z1/z2; б) (z1)2/(z2)2; в) z1/z2; г) (z1)2/z2.

Пусть $$z_1=1-i,$$ $$z_2=4+i.$$ Найдём требуемые выражения.

1. $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1-i}{4+i}=\frac{(1-i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{4-i-4i+i^2}{16-i^2}=\frac{3-5i}{17}.$$

2. $$\frac{z_1^2}{z_2^2}=\frac{(1-i)^2}{(4+i)^2}=\frac{1-2i+i^2}{16+8i+i^2}=\frac{-2i}{15+8i}.$$
   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $$15-8i$$:
   $$\frac{-2i}{15+8i}=\frac{-2i(15-8i)}{(15+8i)(15-8i)}=\frac{-30i+16i^2}{225-64i^2}=\frac{-16-30i}{289}.$$

3. $$\frac{\overline{z_1}}{z_2}=\frac{1+i}{4+i}=\frac{(1+i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{4-i+4i-i^2}{16-i^2}=\frac{5+3i}{17}.$$

4. $$\frac{\overline{z_1}^2}{z_2}=\frac{(1+i)^2}{4+i}=\frac{1+2i+i^2}{4+i}=\frac{2i}{4+i}.$$
   Умножим на сопряжённое число $$4-i$$:
   $$\frac{2i}{4+i}=\frac{2i(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{8i-2i^2}{16-i^2}=\frac{2+8i}{17}.$$

Ответ

а) $$\frac{3-5i}{17}$$; б) $$\frac{-16-30i}{289}$$; в) $$\frac{5+3i}{17}$$; г) $$\frac{2+8i}{17}$$.