Упр.32.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: По заданному сопряженному числу z восстановите комплексное число z и вычислите произведение zz и частное z : z. a) z = 2i; б) z = -3i; в) z=1-i; г) z = -1 + 3i.

1. а) Если $$\overline{z}=2i,$$ то $$z=-2i.$$

   Тогда

   $$z\overline{z}=(-2i)\cdot 2i=-4i^2=4,$$

   $$\frac{z}{\overline{z}}=\frac{-2i}{2i}=-1.$$

2. б) Если $$\overline{z}=-3i,$$ то $$z=3i.$$

   Тогда

   $$z\overline{z}=3i\cdot(-3i)=-9i^2=9,$$

   $$\frac{z}{\overline{z}}=\frac{3i}{-3i}=-1.$$

3. в) Если $$\overline{z}=1-i,$$ то $$z=1+i.$$

   Тогда

   $$z\overline{z}=(1+i)(1-i)=1-i^2=2,$$

   $$\frac{z}{\overline{z}}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=i.$$

4. г) Если $$\overline{z}=-1+3i,$$ то $$z=-1-3i.$$

   Тогда

   $$z\overline{z}=(-1-3i)(-1+3i)=1-9i^2=10,$$

   $$\frac{z}{\overline{z}}=\frac{-1-3i}{-1+3i}=\frac{(-1-3i)^2}{(-1+3i)(-1-3i)}=\frac{1+6i+9i^2}{1-9}=\frac{-8+6i}{10}=-0{,}8+0{,}6i.$$

Ответ

а) $$z=-2i,$$ $$z\overline{z}=4,$$ $$\dfrac{z}{\overline{z}}=-1.$$

б) $$z=3i,$$ $$z\overline{z}=9,$$ $$\dfrac{z}{\overline{z}}=-1.$$

в) $$z=1+i,$$ $$z\overline{z}=2,$$ $$\dfrac{z}{\overline{z}}=i.$$

г) $$z=-1-3i,$$ $$z\overline{z}=10,$$ $$\dfrac{z}{\overline{z}}=-0{,}8+0{,}6i.$$