Упр.32.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких действительных значениях а число z = (2 — ai)3 — (3 — ai)2 + 5 + а(1 — a2i): a) является действительным; б) является чисто мнимым?

Подробный ответ

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ z=(2-ai)^3-(3-ai)^2+5+a(1-a^2i) $$
$$ (2-ai)^3=8-12ai+6a^2i^2-a^3i^3=8-12ai-6a^2+a^3i $$
$$ (3-ai)^2=9-6ai+a^2i^2=9-6ai-a^2 $$
Тогда
$$ z=(8-12ai-6a^2+a^3i)-(9-6ai-a^2)+5+a-a^3i $$
$$ z=4-5a^2+a-6ai $$
или
$$ z=(-5a^2+a+4)-6ai. $$

а) Чтобы число было действительным, его мнимая часть должна быть равна нулю:

$$ -6a=0 $$
$$ a=0. $$

б) Чтобы число было чисто мнимым, его действительная часть должна быть равна нулю:

$$ -5a^2+a+4=0 $$
$$ 5a^2-a-4=0. $$
Найдём корни квадратного уравнения:
$$ D=(-1)^2-4\cdot 5\cdot(-4)=1+80=81 $$
$$ a=\frac{1\pm 9}{10}. $$
Отсюда
$$ a_1=1,\qquad a_2=-\frac45. $$