Упр.32.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Докажите, что число (-b + iкореньa) + (b — iкореньa) при любых действительных значениях а > = 0 и b является действительным. б) Вычислите (2 + i корень5)3 + (2 — i корень5)3 .

Подробный ответ

а) Раскроем скобки по формуле куба суммы и куба разности:

$$ (-b+i\sqrt{a})^3+(-b-i\sqrt{a})^3= $$
$$ =(-b)^3+3(-b)^2i\sqrt{a}+3(-b)(i\sqrt{a})^2+(i\sqrt{a})^3 $$
$$ \quad+(-b)^3-3(-b)^2i\sqrt{a}+3(-b)(-i\sqrt{a})^2+(-i\sqrt{a})^3. $$

Сложим подобные слагаемые:

$$ (-b+i\sqrt{a})^3+(-b-i\sqrt{a})^3 = -2b^3+6b(i\sqrt{a})^2. $$

Так как $$i^2=-1$$, то

$$ 6b(i\sqrt{a})^2=6b\cdot i^2\cdot a=-6ab. $$

Следовательно,

$$ (-b+i\sqrt{a})^3+(-b-i\sqrt{a})^3=-2b^3-6ab, $$

а это действительное число.

б) Вычислим:

$$ (2+i\sqrt{5})^3+(2-i\sqrt{5})^3. $$

По той же формуле:

$$ (2+i\sqrt{5})^3=8+12i\sqrt{5}+3\cdot 2\cdot (i\sqrt{5})^2+(i\sqrt{5})^3, $$
$$ (2-i\sqrt{5})^3=8-12i\sqrt{5}+3\cdot 2\cdot (-i\sqrt{5})^2+(-i\sqrt{5})^3. $$

Складываем:

$$ (2+i\sqrt{5})^3+(2-i\sqrt{5})^3 =16+6\cdot 2\cdot (i\sqrt{5})^2. $$

$$ (i\sqrt{5})^2=i^2\cdot 5=-5, $$

значит

$$ 16+6\cdot 2\cdot (-5)=16-60=-44. $$