Упр.32.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения 2х2 + 4х + а = 0: a) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но не целые числа; в) оба корня действительные, но не рациональные числа; г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим уравнение $$2x^2+4x+a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 2\cdot a=16-8a.$$

Тогда корни равны

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8a}}{4}=-1\pm\sqrt{1-\frac a2}.$$

1. Оба корня целые, но не натуральные числа.

   Чтобы корни были целыми, нужно, чтобы $$\sqrt{1-\frac a2}$$ было целым числом. Возьмём, например,

   $$\sqrt{1-\frac a2}=1.$$

   Тогда

   $$1-\frac a2=1,\qquad a=0.$$

   При $$a=0$$ получаем корни $$x_1=0,\ x_2=-2,$$ они целые и не натуральные.

2. Оба корня рациональные, но не целые числа.

   Возьмём, например,

   $$\sqrt{1-\frac a2}=\frac12.$$

   Тогда

   $$1-\frac a2=\frac14,\qquad \frac a2=\frac34,\qquad a=\frac32.$$

   При $$a=\frac32$$ корни равны $$x_1=-\frac12,\ x_2=-\frac32,$$ они рациональные, но не целые.

3. Оба корня действительные, но не рациональные числа.

   Возьмём, например,

   $$\sqrt{1-\frac a2}=\sqrt2.$$

   Тогда

   $$1-\frac a2=2,\qquad \frac a2=-1,\qquad a=-2.$$

   При $$a=-2$$ корни равны $$x_1=-1+\sqrt2,\ x_2=-1-\sqrt2,$$ они действительные и иррациональные.

4. Действительных корней нет, если

   $$D<0.$$

   То есть

   $$16-8a<0,\qquad 8a>16,\qquad a>2.$$

Ответ

а) $$a=0$$; б) $$a=\frac32$$; в) $$a=-2$$; г) $$a>2$$.