Упр.32.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство z1/z2 = а z2/z1 + bz2, если: a) z1 = i, z2= 2; б) z1 = 1 + i, z2 = 1 — i; в) z1 = 1 + 2i, z2 = 1 — 2i; г) z1 = 1 + i, z2 = 1 + 2i.

1. а) $$z_1=i,\quad z_2=2.$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{i}{2}=0+0{,}5i,$$
   $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{2}{i}=-2i.$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2=-2ai+2b.$$
   Приравниваем действительную и мнимую части:
   $$ \begin{cases} 2b=0,\\ -2a=0{,}5. \end{cases} $$
   Отсюда $$b=0,\quad a=-0{,}25.$$

2. б) $$z_1=1+i,\quad z_2=1-i.$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=i,$$
   $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{1-i^2}=\frac{-2i}{2}=-i.$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2=a(-i)+b(1-i)=b+(-a-b)i.$$
   Сравниваем части:
   $$ \begin{cases} b=0,\\ -a-b=1. \end{cases} $$
   Получаем $$b=0,\quad a=-1.$$

3. в) $$z_1=1+2i,\quad z_2=1-2i.$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{(1+2i)^2}{1-4i^2}=\frac{-3+4i}{5}=-0{,}6+0{,}8i,$$
   $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{1-2i}{1+2i}=\frac{(1-2i)^2}{1-4i^2}=\frac{-3-4i}{5}=-0{,}6-0{,}8i.$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2=a(-0{,}6-0{,}8i)+b(1-2i)=(b-0{,}6a)+(-0{,}8a-2b)i.$$
   Сравниваем части:
   $$ \begin{cases} b-0{,}6a=-0{,}6,\\ -0{,}8a-2b=0{,}8. \end{cases} $$
   Из первого уравнения $$b=0{,}6a-0{,}6.$$ Подставим во второе:
   $$ -0{,}8a-2(0{,}6a-0{,}6)=0{,}8, $$
   $$ -0{,}8a-1{,}2a+1{,}2=0{,}8, $$
   $$ -2a=-0{,}4,\quad a=0{,}2. $$
   Тогда
   $$b=0{,}6\cdot 0{,}2-0{,}6=-0{,}48.$$

4. г) $$z_1=1+i,\quad z_2=1+2i.$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+i}{1+2i}=\frac{(1+i)(1-2i)}{1+4}=\frac{3-i}{5}=0{,}6-0{,}2i,$$
   $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{1+2i}{1+i}=\frac{(1+2i)(1-i)}{1+1}=\frac{3+i}{2}=1{,}5+0{,}5i.$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2=a(1{,}5+0{,}5i)+b(1+2i)=(1{,}5a+b)+(0{,}5a+2b)i.$$
   Сравниваем части:
   $$ \begin{cases} 1{,}5a+b=0{,}6,\\ 0{,}5a+2b=-0{,}2. \end{cases} $$
   Из первого уравнения $$b=0{,}6-1{,}5a.$$ Подставим во второе:
   $$ 0{,}5a+2(0{,}6-1{,}5a)=-0{,}2, $$
   $$ 0{,}5a+1{,}2-3a=-0{,}2, $$
   $$ -2{,}5a=-1{,}4,\quad a=0{,}56. $$
   Тогда
   $$b=0{,}6-1{,}5\cdot 0{,}56=-0{,}24.$$

Ответ

а) $$a=-0{,}25,\ b=0$$;
б) $$a=-1,\ b=0$$;
в) $$a=0{,}2,\ b=-0{,}48$$;
г) $$a=0{,}56,\ b=-0{,}24$$.