Упр.32.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) iz = (1 — i); б) (1 + i)z = (1 — i); в) (1 + i)z = i; г) (1 + i) 2 z = (1 — i)3.

1. а) $$iz=1-i$$

   $$z=\frac{1-i}{i}=\frac{(1-i)i}{i^2}=\frac{i-i^2}{-1}=-(i+1)=-1-i.$$

2. б) $$(1+i)z=1-i$$

   $$z=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i.$$

3. в) $$(1+i)z=i$$

   $$z=\frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{1-i^2}=\frac{i+1}{2}=\frac{1+i}{2}.$$

4. г) $$(1+i)^2z=(1-i)^3$$

   $$z=\frac{(1-i)^3}{(1+i)^2}.$$

   Вычислим числитель и знаменатель:

   $$ (1-i)^2=1-2i+i^2=-2i, $$

   $$ (1-i)^3=(1-i)^2(1-i)=-2i(1-i)=-2i+2i^2=-2-2i, $$

   $$ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i. $$

   Тогда

   $$z=\frac{-2-2i}{2i}=\frac{-1-i}{i}=(-1-i)\cdot\frac{-i}{1}=i-1=-1+i.$$

Ответ

а) $$-1-i$$; б) $$-i$$; в) $$\frac{1+i}{2}$$; г) $$-1+i$$.