Упр.32.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (2i4 + 3i5)/((2 + 3i)(8 + i)) + (i6 (2 — i)4)/((3 — 4i)(8 -i)); б) (2i16 — 3i9)/((2 — 3i)2) + ((1 + 2i)4)/((3 — 4i)(24 -7i)) + (93-36i)/325.

Подробный ответ

а)

$$ \left(\frac{i}{1+i}:\frac{1+2i}{1+3i}\right) = \frac{i}{1+i}\cdot\frac{1+3i}{1+2i} $$

$$ \frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{1-i^2}=\frac{1+i}{2} $$

Тогда
$$ \frac{1+i}{2}\cdot\frac{1+3i}{1+2i} = \frac{(1+i)(1+3i)}{2(1+2i)} = \frac{1+4i+3i^2}{2(1+2i)} = \frac{-2+4i}{2(1+2i)} = \frac{-1+2i}{1+2i} $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $$1-2i$$:
$$ \frac{-1+2i}{1+2i} = \frac{(-1+2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1+2i+2i-4i^2}{1+4} = \frac{3+4i}{5} $$

Следовательно,
$$ \left(\frac{i}{1+i}:\frac{1+2i}{1+3i}\right)=\frac{3+4i}{5} $$

б)

$$ i:\left(\frac{1+i}{1+2i}:\frac{1+3i}{1-3i}\right) = i\cdot \frac{1+i}{1+2i}\cdot \frac{1-3i}{1+3i} $$

Сначала упростим дроби:
$$ \frac{1+i}{1+2i} = \frac{(1+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-2i+i-2i^2}{1+4} = \frac{3-i}{5} $$

$$ \frac{1-3i}{1+3i} = \frac{(1-3i)^2}{1-9i^2} = \frac{1-6i+9i^2}{10} = \frac{-8-6i}{10} = \frac{-4-3i}{5} $$

Тогда
$$ i\cdot \frac{3-i}{5}\cdot \frac{-4-3i}{5} = \frac{i(3-i)(-4-3i)}{25} $$

$$ (3-i)(-4-3i)=-12-9i+4i+3i^2=-15-5i $$

Значит,
$$ \frac{i(-15-5i)}{25} = \frac{-15i-5i^2}{25} = \frac{5-15i}{25} = \frac{1-3i}{5} $$