Упр.32.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) i2 + i-2; б) i3 + i-3; в) i3 + i-5; г) i-3 + i-5.

Используем свойства степеней мнимой единицы: $$i^2=-1,$$ поэтому степени $$i$$ повторяются с периодом 4.

1. $$i^2+i^{-2}=-1+\frac{1}{i^2}=-1+\frac{1}{-1}=-1-1=-2.$$
2. $$i^3+i^{-3}=i^2\cdot i+\frac{1}{i^3}=-i+\frac{1}{i^6}=-i+\frac{i^2\cdot i}{(i^2)^3}=-i+\frac{-i}{-1}=-i+i=0.$$
3. $$i^3+i^{-5}=i^2\cdot i+\frac{1}{i^5}=-i+\frac{i^5}{i^{10}}=-i+\frac{(i^2)^2\cdot i}{(i^2)^5}=-i+\frac{i}{-1}=-i-i=-2i.$$
4. $$i^{-3}+i^{-5}=\frac{1}{i^3}+\frac{1}{i^5}=\frac{i^3}{i^6}+\frac{i^5}{i^{10}}=\frac{i^2\cdot i}{(i^2)^3}+\frac{(i^2)^2\cdot i}{(i^2)^5}=\frac{-i}{-1}+\frac{i}{-1}=i-i=0.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$0$$; в) $$-2i$$; г) $$0$$.