Упр.32.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным 1 — i. a) Найдите третий член прогрессии. б) Найдите девятый член прогрессии. в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто ценимые числа? г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?

Дана геометрическая прогрессия: $$b_1=i,\quad q=1-i.$$

а) Найдём третий член:

$$ b_3=b_1q^{3-1}=i(1-i)^2 $$

$$ (1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i $$

$$ b_3=i\cdot(-2i)=-2i^2=2 $$

б) Найдём девятый член:

$$ b_9=b_1q^{9-1}=i(1-i)^8 $$

$$ (1-i)^2=-2i,\quad (1-i)^8=\bigl((1-i)^2\bigr)^4=(-2i)^4=16i^4=16 $$

$$ b_9=i\cdot 16=16i $$

в) Чисто мнимые числа получаются, когда множитель при $$i$$ остаётся равным $$\pm i$$:

$$ b_n=i(1-i)^{n-1}=i\bigl((1-i)^2\bigr)^{\frac{n-1}{2}}=i(-2i)^{\frac{n-1}{2}} $$

Чтобы число было чисто мнимым, показатель $$\frac{n-1}{2}$$ должен быть чётным:

$$ \frac{n-1}{2}=2k $$

$$ n-1=4k,\quad n=4k+1 $$

Значит, чисто мнимые числа стоят на местах $$n=4k+1$$.

г) Действительные числа получаются, когда множитель при $$i$$ даёт $$\pm 1$$:

$$ i\cdot i^{\frac{n-1}{2}}=\pm 1 $$

Это возможно при нечётном значении $$\frac{n-1}{2}$$:

$$ \frac{n-1}{2}=2k+1 $$

$$ n-1=4k+2,\quad n=4k+3 $$

Значит, действительные числа стоят на местах $$n=4k+3$$.

Ответ

а) $$2$$; б) $$16i$$; в) $$n=4k+1$$; г) $$n=4k+3$$, где $$k\in \mathbb{Z},\ k\ge 0$$.