Упр.32.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство z = az1 + bz2, если: a) z1 = 1, z2 = 1 + i, z = 5 + 2i; б) z1 = -2 + i, z2 = 3 — i, z= i; в) z1 = 1 + i, z2 = 1 — i, z = 3 + 5i; г) z1 = 4 — i, z2 = -7 + 2i, z = 1.

1. а) $$z_1=1,\quad z_2=1+i,\quad z=5+2i$$

   Тогда

   $$az_1+bz_2=a+b(1+i)=a+b+bi.$$

   Приравниваем действительную и мнимую части:

   $$ \begin{cases} a+b=5,\\ b=2. \end{cases} $$

   Отсюда $$a=5-2=3.$$

2. б) $$z_1=-2+i,\quad z_2=3-i,\quad z=i$$

   Имеем

   $$az_1+bz_2=a(-2+i)+b(3-i)=(-2a+3b)+(a-b)i.$$

   Сравниваем части:

   $$ \begin{cases} -2a+3b=0,\\ a-b=1. \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$a=b+1.$$ Подставим в первое:

   $$-2(b+1)+3b=0,$$

   $$b=2,\qquad a=3.$$

3. в) $$z_1=1+i,\quad z_2=1-i,\quad z=3+5i$$

   Тогда

   $$az_1+bz_2=a(1+i)+b(1-i)=(a+b)+(a-b)i.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} a+b=3,\\ a-b=5. \end{cases} $$

   Складываем уравнения:

   $$2a=8,\qquad a=4.$$

   Тогда $$b=3-4=-1.$$

4. г) $$z_1=4-i,\quad z_2=-7+2i,\quad z=1$$

   Имеем

   $$az_1+bz_2=a(4-i)+b(-7+2i)=(4a-7b)+(2b-a)i.$$

   Сравниваем действительную и мнимую части:

   $$ \begin{cases} 4a-7b=1,\\ 2b-a=0. \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$a=2b.$$ Подставим в первое:

   $$4(2b)-7b=1,$$

   $$b=1,\qquad a=2.$$

Ответ

а) $$a=3,\ b=2$$; б) $$a=3,\ b=2$$; в) $$a=4,\ b=-1$$; г) $$a=2,\ b=1$$.