Упр.32.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что число z1 + аz2, а € R, является действительным. Найдите а, если: a) z1 = 3 + i, z2 = 6 — i; б) z1 = 12 — 13i, z2 = (3 + i)2; в) z1 = 8 + 3i, z2 — -1 — 2i; г) z1 — i, z2 = (2 — 3i)2.

Чтобы число $$z_1+az_2$$ было действительным, его мнимая часть должна быть равна нулю.

1. $$z_1=3+i,\quad z_2=6-i$$

   $$z_1+az_2=(3+i)+a(6-i)=(3+6a)+(1-a)i$$

   $$1-a=0,\quad a=1$$

2. $$z_1=12-13i,\quad z_2=(3+i)^2$$

   $$z_2=(3+i)^2=9+6i+i^2=8+6i$$

   $$z_1+az_2=(12-13i)+a(8+6i)=(12+8a)+(6a-13)i$$

   $$6a-13=0,\quad a=\frac{13}{6}$$

3. $$z_1=8+3i,\quad z_2=-1-2i$$

   $$z_1+az_2=(8+3i)+a(-1-2i)=(8-a)+(3-2a)i$$

   $$3-2a=0,\quad a=\frac{3}{2}$$

4. $$z_1=i,\quad z_2=(2-3i)^2$$

   $$z_2=(2-3i)^2=4-12i+9i^2=-5-12i$$

   $$z_1+az_2=i+a(-5-12i)=-5a+(1-12a)i$$

   $$1-12a=0,\quad a=\frac{1}{12}$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{13}{6}$$; в) $$\frac{3}{2}$$; г) $$\frac{1}{12}$$.