Упр.32.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что число аz1 + z2, а € Я, является чисто мнимым. Найдите а, если: a) z1 = 3 + i, z2 = 6 — i; б) z1 = 12 — 13i, z2 = 3i; в) z1 = 8 + 3i, z2 = -1 — 2i; г) z1 = i, z2 = -1 + 2i.

Число $$az_1+z_2$$ должно быть чисто мнимым, значит его действительная часть равна нулю.

1. $$z_1=3+i,\quad z_2=6-i$$

   $$az_1+z_2=a(3+i)+(6-i)=3a+ai+6-i=(3a+6)+(a-1)i$$

   Тогда

   $$3a+6=0$$

   $$3a=-6,\quad a=-2$$

2. $$z_1=12-13i,\quad z_2=3i$$

   $$az_1+z_2=a(12-13i)+3i=12a-13ai+3i=12a+(3-13a)i$$

   Тогда

   $$12a=0,\quad a=0$$

3. $$z_1=8+3i,\quad z_2=-1-2i$$

   $$az_1+z_2=a(8+3i)+(-1-2i)=8a+3ai-1-2i=(8a-1)+(3a-2)i$$

   Тогда

   $$8a-1=0$$

   $$8a=1,\quad a=\frac{1}{8}$$

4. $$z_1=i,\quad z_2=-1+2i$$

   $$az_1+z_2=ai-1+2i=-1+(a+2)i$$

   Чтобы число было чисто мнимым, его действительная часть должна быть равна нулю, но здесь она равна $$-1$$. Значит, такого $$a$$ не существует.

Ответ

а) $$-2$$; б) $$0$$; в) $$\frac{1}{8}$$; г) не существует.