Упр.32.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что: a) z1 + z2 = z2 + z1, z1 € С, z2 € С; б) (а + b)z — az + bz, а € R, b € Д, z € С; в) (ab)z = a(bz), а € R, b € Ry z € С; г) a(z1 + z2) = a21 + az2, a € R, z1 € C, z2 € C.

Пусть $$z_1=a+bi,\quad z_2=c+di,\quad z=c+di,$$ где $$a,b,c,d\in \mathbb{R}.$$

1. Докажем, что $$z_1+z_2=z_2+z_1.$$

   $$ z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, $$
   $$ z_2+z_1=(c+di)+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i=(a+c)+(b+d)i. $$
   Следовательно, $$z_1+z_2=z_2+z_1.$$

2. Докажем, что $$\left(a+b\right)z=az+bz,\quad a,b\in \mathbb{R},\ z\in \mathbb{C}.$$

   Пусть $$z=c+di.$$ Тогда
   $$ (a+b)z=(a+b)(c+di)=ac+adi+bc+bdi=(ac+bc)+(ad+bd)i, $$
   а также
   $$ az+bz=a(c+di)+b(c+di)=ac+adi+bc+bdi=(ac+bc)+(ad+bd)i. $$
   Значит, $$\left(a+b\right)z=az+bz.$$

3. Докажем, что $$\left(ab\right)z=a(bz),\quad a,b\in \mathbb{R},\ z\in \mathbb{C}.$$

   Пусть $$z=c+di.$$ Тогда
   $$ (ab)z=ab(c+di)=abc+abd\,i, $$
   а
   $$ a(bz)=a\bigl(b(c+di)\bigr)=a(bc+bdi)=abc+abd\,i. $$
   Следовательно, $$\left(ab\right)z=a(bz).$$

4. Докажем, что $$a(z_1+z_2)=az_1+az_2,\quad a\in \mathbb{R},\ z_1,z_2\in \mathbb{C}.$$

   Пусть $$z_1=b+ci,\quad z_2=d+ei.$$ Тогда
   $$ a(z_1+z_2)=a\bigl((b+ci)+(d+ei)\bigr)=a\bigl((b+d)+(c+e)i\bigr) $$
   $$ =a(b+d)+a(c+e)i=(ab+ad)+(ac+ae)i. $$
   С другой стороны,
   $$ az_1+az_2=a(b+ci)+a(d+ei)=ab+aci+ad+aei=(ab+ad)+(ac+ae)i. $$
   Значит, $$a(z_1+z_2)=az_1+az_2.$$

Ответ

Все равенства доказаны.